СОР за раздел «Квадратные уравнения» 8 класс 2 четверть (2 часть)

Материал предназначен для подготовки к СОР по разделу «Квадратные уравнения» в 8 классе. Вторая часть помогает закрепить способы решения квадратных уравнений, работу с дискриминантом, теоремой Виета и задачами, сводящимися к квадратному уравнению.

Материал можно использовать для повторения темы, самостоятельной работы, подготовки к суммативному оцениванию и дополнительной тренировки.

Автор: Курочка Александр Николаевич
КГУ «Чкаловская средняя школа №1»
Скачать материал

Что нужно повторить

Перед выполнением заданий рекомендуется повторить:

• определение квадратного уравнения;
• полные и неполные квадратные уравнения;
• коэффициенты квадратного уравнения;
• дискриминант;
• количество корней;
• формулу корней квадратного уравнения;
• теорему Виета;
• обратную теорему Виета;
• разложение квадратного трёхчлена на множители;
• решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений.

Квадратное уравнение

Квадратным называется уравнение вида:

ax² + bx + c = 0

где:

• a, b, c — числа;
• a ≠ 0;
• x — переменная.

Числа a, b, c называются коэффициентами квадратного уравнения.

Полное квадратное уравнение

Если все коэффициенты отличны от нуля, уравнение является полным.

Например:

2x² − 5x + 3 = 0

Неполное квадратное уравнение

Если коэффициент b или c равен нулю, уравнение называют неполным.

Примеры:

x² − 9 = 0

3x² + 6x = 0

Такие уравнения часто можно решить без вычисления дискриминанта.

Дискриминант

Для уравнения:

ax² + bx + c = 0

дискриминант вычисляется по формуле:

D = b² − 4ac

По значению дискриминанта можно определить количество корней.

Количество корней

Если:

D > 0 — уравнение имеет два различных действительных корня;

D = 0 — уравнение имеет один действительный корень;

D < 0 — действительных корней нет.

Формула корней

При D ≥ 0:

x₁ = (-b + √D) / 2a

x₂ = (-b − √D) / 2a

При D = 0:

x = -b / 2a

Алгоритм решения квадратного уравнения

1. Приведите уравнение к виду ax² + bx + c = 0.
2. Определите a, b, c.
3. Вычислите дискриминант.
4. Определите количество корней.
5. Используйте формулу корней.
6. Проверьте вычисления.
7. Запишите ответ.

Теорема Виета

Для приведённого квадратного уравнения:

x² + px + q = 0

выполняется:

x₁ + x₂ = −p

x₁ · x₂ = q

Эта теорема помогает находить корни без вычисления дискриминанта, если числа легко подобрать.

Обратная теорема Виета

Если два числа имеют:

• сумму −p;
• произведение q;

то они являются корнями уравнения:

x² + px + q = 0

Проверка корней

После решения полезно выполнить проверку.

Можно:

• подставить найденный корень в исходное уравнение;
• проверить сумму и произведение корней по теореме Виета.

Разложение квадратного трёхчлена

Если квадратный трёхчлен имеет корни x₁ и x₂, то:

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Такое разложение используется при преобразовании выражений и решении других алгебраических задач.

Как выбрать способ решения

Не всегда нужно сразу использовать дискриминант.

Сначала посмотрите на структуру уравнения.

Если:

ax² + bx = 0
можно вынести x за скобку.

Если:

ax² − c = 0
можно воспользоваться разностью квадратов.

Если уравнение приведённое и корни легко подобрать — удобно применить теорему Виета.

В остальных случаях можно использовать дискриминант.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

В некоторых заданиях сначала требуется выполнить преобразования:

• раскрыть скобки;
• перенести все слагаемые в одну часть;
• привести подобные;
• получить стандартное квадратное уравнение.

Только после этого применяется выбранный способ решения.

Текстовые задачи

Квадратные уравнения могут использоваться в задачах на:

• движение;
• площадь;
• размеры фигур;
• произведение чисел;
• последовательные числа;
• практические ситуации.

Алгоритм решения текстовой задачи

1. Определите неизвестную величину.
2. Обозначьте её через x.
3. Выразите остальные величины через x.
4. Составьте уравнение.
5. Решите его.
6. Проверьте, подходят ли корни по смыслу.
7. Запишите ответ задачи.

Посторонний корень по смыслу

Иногда оба корня математически верны, но один не подходит условию задачи.

Например, если x обозначает длину, отрицательное значение не может быть ответом.

Поэтому после решения текстовой задачи необходимо обязательно учитывать смысл величины.

Типичные задания СОР

В работе могут встречаться задания на:

• определение коэффициентов;
• вычисление дискриминанта;
• определение количества корней;
• решение полного квадратного уравнения;
• решение неполного квадратного уравнения;
• применение теоремы Виета;
• составление квадратного уравнения по корням;
• разложение квадратного трёхчлена;
• решение текстовой задачи.

Пример: количество корней

Для уравнения:

x² − 6x + 9 = 0

дискриминант:

D = (-6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0

Следовательно, уравнение имеет один действительный корень.

Пример применения теоремы Виета

Рассмотрим:

x² − 7x + 12 = 0

Нужно найти два числа, которые:

• в сумме дают 7;
• в произведении дают 12.

Это числа 3 и 4.

Следовательно:

x₁ = 3, x₂ = 4

Как подготовиться к СОР

Рекомендуемый порядок:

1. повторить формулы;
2. решить несколько неполных уравнений;
3. закрепить дискриминант;
4. решить полные квадратные уравнения;
5. повторить теорему Виета;
6. потренироваться составлять уравнение по корням;
7. выполнить текстовые задачи;
8. пройти тренировочную работу целиком;
9. проверить ошибки.

Типичные ошибки

Учащиеся часто допускают:

• неправильное определение коэффициентов;
• потерю знака перед b или c;
• ошибку при возведении отрицательного числа в квадрат;
• неправильное вычисление 4ac;
• ошибку в знаменателе 2a;
• путаницу знаков в формуле корней;
• неверное применение теоремы Виета;
• отсутствие проверки ответа;
• использование неподходящего корня в текстовой задаче.

Как избежать ошибок

Перед вычислением дискриминанта выпишите отдельно:

a = …

b = …

c = …

Затем подставляйте их в формулу.

Особое внимание уделяйте отрицательным коэффициентам.

Например, если:

b = −5

то:

b² = (−5)² = 25

Как анализировать результат

После выполнения СОР полезно распределить ошибки:

дискриминант → повторить формулу;

формула корней → проверить знаки и знаменатель;

теорема Виета → тренировать сумму и произведение;

неполные уравнения → повторить специальные способы решения;

текстовые задачи → потренироваться составлять математическую модель.

Для кого предназначен материал

Материал может использоваться:

• учащимися 8 класса;
• учителями алгебры;
• родителями;
• репетиторами;
• для самостоятельной подготовки;
• для повторения перед СОР;
• для дополнительной работы после изучения темы.

Важно

Материал предназначен для подготовки и тренировки по теме «Квадратные уравнения».

Он не является официальным вариантом СОР. Конкретное содержание и структура суммативного оценивания определяются учителем в соответствии с учебными целями и используемыми материалами.

Часто задаваемые вопросы

Что нужно знать перед СОР по квадратным уравнениям?

Необходимо уметь вычислять дискриминант, находить корни, решать неполные квадратные уравнения и применять теорему Виета.

Как определить количество корней?

По дискриминанту: D > 0 — два корня, D = 0 — один, D < 0 — действительных корней нет.

Обязательно ли всегда использовать дискриминант?

Нет. Неполные уравнения и некоторые приведённые уравнения можно решить более простыми способами.

Нужно ли знать теорему Виета?

Да. Она позволяет находить и проверять корни квадратного уравнения.

Что делать после нахождения корней в текстовой задаче?

Проверить, соответствуют ли оба найденных значения смыслу условия.

Как лучше подготовиться к СОР?

Решать разные типы квадратных уравнений, повторить формулы и обязательно разбирать собственные ошибки.

Подготовьтесь к СОР по теме «Квадратные уравнения»

Повторите дискриминант, формулы корней, теорему Виета и способы решения неполных квадратных уравнений, а затем закрепите материал тренировочными заданиями.

СОР • алгебра • 8 класс • квадратные уравнения • 2 четверть • дискриминант • теорема Виета • подготовка

Рекомендуем

• Генератор СОР и СОЧ